جزیره ریاضی

 نسبت بین مقسوم علیه‌های آن عدد و خود عدد با یک یا چند عدد دیگر

 همانند است. دو عدد که در این خاصیت سهیم باشند یک زوج دوست

 نامیده می شوند. دسته‌های بزرگ‌تر اعداد دوست نیز وجود دارد. عددی که

 چنین دوستانی نداشته باشد عدد تنها نامیده می‌شود.

خاصیت مورد نظر عبارت است از عدد غیر موهومی σ(n) / n است که در آن

 σ نشان دهنده تابع تقسیم کننده (مجموع تمام مقسوم علیه ها) است. n

 یک عدد دوست است اگر n ≠ m باشد به طوری کهσ(m) / m = σ(n) / n .

اعداد 1 تا 5 همگی تنها هستند. کوچکترین عدد دوست 6 است که زوج

 دوست (28,6) که در ان 6/(6)σ مساویست با 6 / (6 + 3 + 2 + 1)

 مساویست با 2 همانطور که28 / (28)σ مساویست با 28 / (28 + 14 +

7 + 4 + 2 + 1) مساویست با 2. مقدار مشترک 2 در این مورد یک عدد

 صحیح است اما در بسیاری از موارد چنین نیست.

مسائل حل نشده بسیاری در رابطه با اعداد دوست وجود دارد. به‌رغم

مشابهت نام، هیچ رابطه خاصی بین اعداد دوستانه یا اعداد اجتماعی وجود

ندارد. هر چند تعریف این دو نیز شامل تابع تقسیم است.

به نقل از ویکی پدیا

خواص اعداد حاصل تركيب اعداد و اعمال رياضي است پس ميتوان تعريف

 كرد وقتي يك سري اعداد در يك مجموعه قرار ميگيرند داراي يك ويژگي

 مشترك هستند. تا اين قسمت جزء فرضيات هستند و اگر بخاهيم به ارتباط

 رياضيات با دوستي بپردازيم بايد اجزاء دوستي را با تعاريف رياضي مرتبط

سازيم اجزاء دوستي عبارتند از دو وجود صاحب اختيار و تفكر ( دليل اينكه

 گفتم وجود اين است كه اين رابطه يعني دوستي خدا را هم شامل ميشود

و ميدانيم كه خدا موجود نيست بلكه وجود است) كه اين دو وجود را به

اعداد تشبيه ميكنيم و اعمال رياضي را به اعمال اين دو وجود هم اكنون در

 صورتي اين دو وجود در يك مجموعه ي دوستي قرار ميگيرند كه داراي

 ويژگي هاي مشترك باشند اين ويژگي ها طبق فرضيات رياضي ما حاصل

 قرار گرفتن اين دو وجود در اعمال مشابه است و در صورتي اين خاصيت ها

 با هم اشتراك دارند كه نتيجه ي اعمال يكي باشد و اگر چنين باشد اين دو

وجود در مجموعه ي دوستي قرار ميگيرند. دليل عشق انسان به خدا هم

 شايد اين است كه او به انسان اسماء خود را آموخت و انسان با خدا داراي

 اين خاصيت مشترك است پس عشق انسان به او فراتر از يك نياز و يا ترس

 از جهنم و دوست داشتن بهشت است

 اين نامگذاري اين باشد كه خواص اعداد و ويژگي هاي مشترك دو عدد به

 مقسوم اليه هاي آن مربوط باشد مانند مجموعهي اعداد اول چون ميدانيم

اعداد اول تنها بر خود و 1 بخشپذيرند. پس اين خاصيت كه از مقسم هاي آن

 نشات ميگيرد باعث ايجاد گروه يا مجموعه اي با اين خاصيت مشترك

ميشود و يا منحصر به فرد بودن اعداد به علت اين است كه تجزيه اين اعداد

 به عامل هاي اول يكتاست حال ميتوان نتيجه گرفت كه چرا دو عدد

(متحابه) دو دوست يكديگرند! زيرا مجموع مقسم هاي آنها كه بيانگر ويژگي

 آنها هستند با هم مطابقت و برابري ميكنند زيرا دو دوست داراي مجموعه

 ي ويژگي هاي مشترك اند.

 در گزشته ساخت وکشف کدهای رمزی معمولا مختص امور نظامی و دیپلوماتیک بوده است. با رواج روز افزون 

 ذخیره سازی و انتقال داده های رقمی به وسیله ی داده پردازی الکترونیک سازمانها در هر دو بخش خصوصی و

 عمومی احساس کرده اند که لازم است اطلاعات را از دست مخاطبان ناخواسته حفظ کرد. در واقع رواج گسترده

 انتقال وجوه از طریق الکتونیک پنهانکاری را در بیشتر معامله های مالی ضروری ساخته است.این است که اخیرا

علاقه ریاضیدانان و دانشمندان علوم کامپیوتر به رمزنگاری یعنی علم مبادله پیام به روشی که برای افراد غیرمجاز

غیر قابل فهم باشد جلب شده است.رمزنگاری تنها وسیله عملی موجود برای حفظ اطلاعات ارسال شده از

 طریقه شبکه های ارتباطی عمومی مانند خطهای تلفن ماکروویو یا ماهواره ها است.

  به زبان رمزنگاری کدها رمز نامیده میشوند اطلاعی که قرار است مخفی بماند قبل از آنکه به رمز در آید متن

آشکار خوانده میشود و پس از آن متن رمزی نامیده میشود. فرآیند تبدیل متن آشکار به متن رمزی رمزی سازی یا

 به رمز در آوردن و فرآیند عکس یعنی تبدیل متن رمزی به متن آشکار رمزگشایی نامیده میشود.

 یکی از نخستین سیستمهای رمزنگاری در حدود ۵۰ سال پیش از میلاد مسیح توسط ژولیس سزار امپراطور بزرگ

رم بکار رفت. وی با استفاده از یک شیوه جایگزینی ابتدایی با سیسرون مکاتبه میکرد. در این سیستم بجای

x حرف A  به جای Y حرف B به جای Z حرف C و بجای هر حرف دیگر الفبا حرف سوم بعد از آن گذاشته می شد.

 اگر متن رمزی متناظر را حرف به حرف زیرمتن آشکار بنویسیم الفبای جایگزینی در رمز سزار به دست می آید:

متن آشکار:     A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z  

متن رمزی:      D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

به عنوان مثال متن آشکار

                                          CAESAR WAS GREAT

به متن رمزی

                                          FDHVDU ZDV JUHDV  

تبدیل میشود رمز سزار را میتوان به آسانی با استفاده از نظریه همنهشتی ها توصیف کرد. نخست هر متن آشکار

تحت تناظری به صورت زیر با ترجمه ی حفهای متن به عدد ها به طور عددی بیان میشود: 

   A B C  D E  F G H I J  K   L M  N O P  Q  R S T  U V W  X Y   Z                    

   26  25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8  7   6   5  4  3  2  1

   اگر p متناضر عددی حرفی از متن آشکار و c متناظر عددی حرفی متن رمزی باشد آنگاه

(به پیمانه ۲۶)C≡P+3

با استفاده از این تناظر رمز کردن مثال فوق قابل توجیه است.

رمز سزار بسیار ساده و بنابراین ایمنی آن فوق العاده کم است. خود سزار پس از چندی این رمز را کنار گذاشت .

 نه تنها به دلیل ناامن بودنش بلکه همچنین به دلیل عدم اعتماد سزار به سیسرون که باالاجبار از این رمز آگاه بود. 

  رمز به شیوه  RSA

مراحل زیر برای تولید کلید طی می شود:

1. دو عدد اول بزرگ p و q را به صورت تصادفی بیابید به طوری که .
2. عدد n را محاسبه کنید به طوری که n = pq.
3. عدد فی را محاسبه کنید به طوری که
4. عدد e را انتخاب کنید به طوری که و نسبت به اول باشد.
5. عدد d را طوری بیابید که

• دو عدد اول می توانند توسط روش پیدا کردن اعداد اول احتمالی پیدا شوند.
•  
• معمولا عدد عمومی (e) را در حدود ۲^۱۶ انتخاب می کنند. البته بعضی برنامه اعداد کوچکی را انتخاب می کنند که باعث سریعتر شدن و البته خطرات امنیتی در رمزنگاری می شود.

کلید عمومی تشکیل می شود از :

• عدد n (عدد مشترک)
• عدد e (عدد عمومی)

کلید خصوصی تشکیل می شود از :

• عدد n (عدد مشترک)
• عدد d (عدد خصوصی)

رمز کردن پیام

فرض کنید می خواهید پیامی را رمزنگاری کرده و به فردی دیگر بفرستید. شما می بایست کلید عمومی

آن فرد را از او دریافت کرده و پیام خود را در قالب یک عدد (m) در بیاورید به طوری که این فرآیند برگشت

پذیر بوده و عدد شما از n کوچکتر باشد. بدیهی است اگر پیام بزرگتر حد معمول باشد آن را در بسته های

 جداگانه می فرستیم. شما اکنون عدد C را محاسبه می کنید به طوری که

حال اگر پیام رمزنگاری شده ی C را برای فرد مذکور بفرستید او می تواند توسط کلید خصوصی اش آن را باز کند.

باز کردن پیام

فرض کنید شما پیام رمز نگاری شده ی C را دریافت کرده اید و کلید خصوصی خود را در دسترس دارید.

حال شما می توانید عدد m را که معادل پیام اصلی است از C,n,d بازیابی کنید.

این وبلاگ جهت ترویج علم ریاضی میباشد و هر گونه تبلیغ از این وبلاگ کمک به نشر این علم است.

در ضمن نام وبلاگ zilion است که (لغت اصلی zillion است که جهت کم شدن اشتباه در تایپ به zilion تبدیل شده توجه کنید که در صورت اشتباه وارد کردن آدرس به این وبلاگ وارد نمیشوید)و به معنای عدد بسیار بزرگ ناشناخته است.

لطفا جهت بهبود وبلاگ نظرات یا مطالب خود را ارسال کنید تا با نام خودتان در وبلاگ درج شود.

این وبلاگ از طریق آدرسهای زیر قابل دسترس است.

http://zilion.co.sr
http://www.zilion.co.sr.

http://www.zilion.blogfa.com